据《圣经》上说，人类的始祖亚当和夏娃因偷吃禁果被逐出伊甸园，于是他们在凡间生儿育女，逐渐繁衍起来。后来他们的后代发现了一片广袤的原野，决定住下来，准备在那里建一座城，城里建一座塔，塔顶通天。大家此呼彼应地说着话，热火朝天地干起来，做坯的做坯，烧砖的烧砖，和泥的和泥，运料的运料，建塔的建塔，那塔直入云霄。这件事惊动了上帝，耶和华亲临现场，看到平地上、塔顶上人们川流不息地传运着砖料和灰泥，从下往上层层传递，有条不紊，越砌越高。

    耶和华对天使说：“看哪！他们如此协调一致，如今建塔，往后做起别的事来，就没有不成的了。看来得使他们语言彼此不同。”于是，他就让建塔的人们说出各种各样的语言，每个人说话只有身边的几个人懂得，稍远一点就听不懂了，塔顶上的人向下边喊话，震破了嗓子下边的人也不知他们到底要什么，打手势也不管用，因为缺乏统一的规定。由于语言不通，停工待料，人们的心随之逐渐涣散，那座塔也就半途而废了。

    耶和华把众人分散到各地，遍布天涯海角，从此世间便产生了成百上千种语言，各种语言中又有各种方言。半途而废的原因是语言的变乱，“变乱”在希伯莱语中读作“巴比伦”，因此人们就把这座塔称为“巴比伦塔”。

    经过2000多年的努力，20世纪初人们逐渐构造起了数学的庞大体系。在这个体系中，每个结果都依赖于以前已经取得的成果，这非常像一个层层叠叠的巴比伦塔式的建筑物。在这个建筑物中，当时主要有算术、代数、几何、数学分析等几大阶层。第一次数学危机使自然数的尊崇地位受到挑战，人们开始认识到无理数的意义，同时也意识到直觉和经验不一定靠得住，从而导致古典逻辑和欧氏公理几何学的诞生。随着第二次数学危机的解决，微积分（数学分析的一部分）建立在极限理论的基础上。而要理解极限的性质，就必须对数有明确的概念。这里的数不仅指有理数，而且还包括无理数，这两种数构成了实数的集合，因此当务之急是建立严格的实数理论。康托尔通过一定的有理数序列定义实数，而戴德金则利用有理数集合的分割来定义实数，就是说他们都依赖于有理数的集合概念。这样，实数理论的无矛盾性就归结为有理数论进而归结成自然数论的无矛盾性了。

    自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地义的。不过数学家们又把它进一步归结为逻辑与集合论，也就是用逻辑和集合论推出自然数，这样，逻辑与集合论成为整个数学大厦的基础。在这个建筑物的构架中，如果有一个小框架出现了一点裂缝，并不会使整个大楼倒塌，但是如果它的基石崩溃了，你可以想象会是什么样的结果！

    从历史的发展来看，罗素悖论的发现对人们的震动是巨大的。因为这种威胁不仅限于集合论，而是涉及整个数学，甚至还包括逻辑。因为只需稍作变动，罗素悖论就可以在纯逻辑的形式下得到构造，如上述的格雷林悖论。

    那么，为什么2000多年来的悖论对逻辑、数学没有产生根本性的威胁，而现在却像爆发了一场大地震，使许多人大惊失色、惊愕得说不出话来呢？这是因为过去的悖论或依赖于某些具体的事实，或者主观认识上的错误。例如，“说谎者悖论”要依赖于说话的人为克里特岛人。人们可以说悖论的出现只是表明所假定的事实不能出现，不过是一幻想，也可以说这样的话毫无意义。“希帕索斯悖论”的出现，是由于毕达哥拉斯学派坚持“一切事物和现象都可以归结为整数或整数之比”的信条造成的，由于人们未能认识这一信条的相对性（即在一定范围内适用），而把它应用到整个世界，就使之成为错误的结论，这样就和构成了直接的矛盾，形成悖论。同样，“伽利略悖论”也是如此。由于正整数与正整数的平方数（前者的部分）之间可以建立一一对立关系：

    l，2，3，4，……

    l，4，9，16，……

    因此，整体（自然数集）和部分（平方数集）在数量上是相等的。但由于人们总认为“整体大于部分”，殊不知，这只能适用于有穷量，而不能适用于无穷量，因此造成悖论。显然这也是由于主观认识上的错误造成的。那么，“贝克莱悖论”又是怎么造成的呢？无穷小量在本质上是辩证的，它是零与非零的统一，也就是说它既是零又是非零。所谓“无穷小量是零”是指它的运动变化的终点是零，而所谓“无穷小量是非零”是指它趋向于零。由于数学是以形式逻辑为基础的，它就要遵循不矛盾律，要求对象具有明确性和一义性，也就是说必须明确无穷小量究竟是零还是非零（不能断言既是零又是非零）。而在实际应用中是这样解决的：人们先假设无穷小量不等于零，然后再规定它为零，这种方法实质上是通过把对立环节割裂开进行把握。但对立双方仍然存在于无穷小量本身，当它们被重新联结在一起时，悖论就不可避免地出现了。因此，“无穷小量具有一义性”这种错误的认识是造成“贝克莱悖论”的原因。

    这种由于主观认识上错误而造成的悖论，其特点就是在它们的构造过程中包含有某个或某些具有直接错误的前提，既如此，悖论就是一种应当避免，而且也能被彻底排除的主观错误。

    “矛盾即假”，客观世界是不存在矛盾的，矛盾只在人的主观认识中，这是人们的普遍观念，数学和逻辑是严格性和真理性的典范，因此当其中出现悖论时人们自然会想到：一定是我们主观上出什么差错了。找出悖论中错误的前提，并加以改正，悖论就能得以避免。无理数理论的建立使人们否定了“一切事物和现象都可归结为整数或整数之比”的错误信条，“希帕索斯悖论”得以克服；以实数理论为基础的极限理论的产生则否定了“无穷小量要么是零要么是非零”的错误观念，使“贝克莱悖论”不再出现。

    而罗素悖论却不同，它使用了集合论的最基本概念：集合、属于、元素。根据人们古老的信念，既然出现了悖论，那只能说明集合论的基本前提是错误的。但人们在这些前提中却没有发现以往任何明显不正确之处，这样，在对此悖论的解决中也就出现了种种不同的方法。而且，在解决罗素悖论的种种努力中，人们又进一步暴露出在许多最基本的数学概念上的严重分歧，如到底什么是集合，有没有实无穷等等，这些分歧又增加了人们关于数学不可靠性的感觉，从而也就更增强了“危机”的气氛。一向是平和宁静、人人“安居乐业”的数学王国顿时众心浮动，群情沮丧。正如数学家克莱因所说：“作为逻辑结构的数学已处于一种悲哀的境地——数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时光。”

    但是在悖论面前，人们对所处的境况是不能长期忍受下去的，因为如希尔伯特所指出的，数学是可靠性和真理性的典范，在这里，如果每个人所学的、教的和应用的那些概念和推理方法导致了不合理的结果，那么数学思考就会失灵，人们又能到哪里去寻找可靠性和真理性呢？因此在惊愕和沮丧之余，数学家们和哲学家们并没有沉沦，而是采取种种措施去排除悖论这个怪物，从而为数学大厦建立更稳固的基础。

    要解除悖论，就要搞清悖论是如何形成的，以罗素悖论为例，它的构造过程如下：

    （1）构成集合S＝｛A｜A不属于A｝，也就是“不以自身为元素的集合的集合”；

    （2）考虑“S是否属于S”；

    （3）由排中律，这时必然有S属于S或S不属于S，但无论S属于S，还是S不属于S，总会得出矛盾，因此，矛盾不可避免。

    以上述事实进行分析可以看出，这里事实上包含了以下前提：

    Ⅰ、对任意的A来说，“A不属于A”总是有意义的命题。

    Ⅱ、对任何性质来说，如果对所有的对象都有意义，那么总可以构造出相应的集合。例如“红色的”为一性质，所有具有这一性质的对象就构成一个集合。因此，集合就是把我们感兴趣的，想加以研究的对象集中在一起组成的整体。感兴趣可以是任何的东西，树木、房子、数字、猫、狗、猪等等。如果对“高大”感兴趣，就可以把我们班所有高大的同学组成一个集合。想研究“食草性”，就可以把所有食草动物组成一个集合。当然，想研究“不以自身为元素的集合”，也就可以把它也构成一个集合（S）。

    Ⅲ、对所构造的S也可考虑“S是否属于S”的问题。

    Ⅳ、排中律在集合论总是有效的，即一元素或者属于或者不属于某个集合。

    Ⅴ、在集合论中不允许任何矛盾出现，即不矛盾律是有效的。

    因此，从技术上讲，任何方法都是通过否定其中一个或一个以上的前提来排除悖论的。

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