集合论中一系列悖论，特别是罗素悖论的出现，揭示了这样一个严酷的事实：集合论是不相容的，即前后是矛盾的。一向以精密严格著称的数学大厦居然出现了裂痕，而且是足以使整座大厦倾覆的裂痕，这怎能不令人震惊！悖论产生的根源何在？能否为数学找到一个可靠的逻辑基础？这些问题困绕着数学家和逻辑学家，由此也引发了一场关于数学基础问题的大论战。

    论战的一方是以罗素为代表的逻辑主义学派。逻辑主义认为，逻辑是全部数学的基础，以真假二值为基础的经典逻辑是绝对可靠的，数学的基本概念可以用逻辑的概念来定义，数学的命题则可经由逻辑的公理，运用逻辑的法则推导出。只要构造出合适的逻辑系统，就可以推出全部经典数学。把数学化归为逻辑，这是逻辑主义学派的基本纲领。避免悖论，维护集合论和已有的一切数学成果则是其基本出发点。

    为消除悖论，罗素提出其著名的类型论。类型论取得一定的成效，但由于过于繁琐和做作，所以，遭到许多人的批评。而且，由于在推出经典数学的过程中需借助于一些非逻辑的公理，因此，逻辑主义学派“把数学归结为逻辑”的纲领最终证明是失败的。

    论战的另一方是以希尔伯特为代表的形式主义学派。形式主义学派也坚信经典逻辑的有效性，捍卫一切已有的数学成果。为了证明经典数学的可靠性，希尔伯特提出了这样的方案：首先把经典数学形式化（即变成纯粹的形式符号），构成形式公理系统，然后用有穷的方法（即不采用实无穷的观点，不使用无穷集合）来证明这些公理系统的一致性（即无矛盾性），试图用逻辑的无矛盾性来为数学的真理性作辩护。在希尔伯特看来，如果一个概念具有矛盾的属性，这个概念在数学上就不存在。但是，如果可以证明一概念的属性不会经过有穷步骤的逻辑推理导致矛盾，那么，这个概念的数学存在性就证明了。

    这一方案首先遭到直觉主义学派的攻击。此学派的代表布劳威尔曾一针见血地指出：“不正确的理论即使还未碰到矛盾，但仍然是不正确的，正如一个罪恶的行为即使还未被法院发觉，但仍然是罪恶的。”而给予这一方案致命打击的还是哥德尔的不完备性定理。对于这一定理，霍夫施塔特曾用一故事加以通俗说明：

    （阿基里斯去访问乌龟，并在他家消磨时间）

    阿：上帝啊！你的收藏品可真多。你收集了这么多唱片，那你究竟喜欢什么样的唱片呢？

    龟：我认为巴赫的作品最棒。不过，我最感兴趣的却是一种特殊的音乐，我把它称为“粉碎唱机的音乐”。

    阿：这可真是一种古怪的音乐。难道你举着大锤，按照贝多芬《惠灵顿的胜利》的节奏把唱机一个个地砸掉？

    龟：可不是这么回事。懂得这种音乐的人并不多。这要从我的朋友蟹说起。有一天，他来我这儿作客，他刚刚买了一台新唱机，按照店主的说法，它能演奏任何声音，也就是说，这是一台完备的唱机。

    阿：你肯定不相信这一点的。

    龟：后来，我就去回访他，并且带去一张我自己创作的唱片。唱片的曲名就叫做：“我不能在唱机1上演奏。”我建议他和我一起来欣赏这张唱片。于是，他就打开唱机把这张唱片放进去了。不幸的是，刚奏出几个音符，唱机就开始抖动起来，越抖越厉害，最后只听“啪”的一声，唱机裂得粉碎，不用说；这张唱片也跟着报销了。

    阿：真倒霉！可是店主不是吹嘘这是一台完备的唱机吗？

    龟：确实如此。阿基里斯，难道你也会和蟹一样天真，相信店主告诉你的一切吗？

    阿：我想这是因为店主在吹牛的缘故。

    龟：其实，在回访蟹之前我就去过出售唱机的那家商店。我向他索取了设计说明书，分析了它的结构，并且发现确实有这样一组声音，如果它在唱机附近作响，就可以使唱机振荡，乃至于碎裂。

    阿：你这个恶毒的家伙！不用细说我就明白了。你录下的真是这组声音，还假惺惺地把它当作礼物去送给蟹。

    龟：你倒是够机灵的。不过事情并未就此了结。蟹并不相信他的唱机是有缺陷的，于是，他又买了一台更加昂贵的唱机。店主则向他许诺，如果他能发现一组在这台唱机上无法演奏的声音，我就包赔两倍的钱。于是，蟹兴致勃勃地来找我，而我也带着极大的兴趣去观看。

    阿：我敢打赌，你一定又按照新唱机的结构炮制了一张新的唱片：“我不能在唱机2上演奏。”

    龟：你的反应很快，你完全领会了问题的精神实质。当然，完全可以料想到，这台唱机又被震得粉身碎骨了。

    阿：我倒有一个主意。他可以买一台低保真度的唱机，这样就不会重演使自己毁灭的那组声音了。

    龟：可是，这样一来就违背了原来的宗旨——可以演奏任何声音。

    阿：我现在明白问题的两难性究竟在哪里了。这就是说，任何唱机其实都是有缺陷的。

    龟：我不明白你为什么要把这叫做缺陷。问题的实质在于，你要唱机去做它根本办不到的事情。不过，我的朋友蟹并不死心，他又自己设计了一台“奥米枷唱机”。这种唱机带有一架电视摄像机，能在唱片演奏之前先把它审视一番。它和微型计算机连接在一起，可以立即判定这组声音对于唱机所产生的效果。如果唱机会受到破坏，它就可以通过一个内部装置将唱机的各部分重新组装，从而改变它的内部结构再来演奏唱片。

    阿：这下好了，你也没有办法了吧？

    龟：瞧你这副得意的劲儿，如果你懂得哥德尔定理就不会这样得意了。

    哥德尔定理是说：（1）如果系统是无矛盾的，那么，此系统是不完备的，即其中必有一个命题，其真假不可判定；反之，如果它是完备的，那么，它必然包含矛盾。（2）这样的系统自己不能证明自己无矛盾，除非它自己是矛盾的。

    哥德尔通过建造一个类似说谎者悖论的命题证明的：“本命题在此系统中不可证”（G）。假如这个命题G在系统中可证，则证明了它“不可证”，矛盾。因此，假设不成立，G在系统中不可证。而G是说它在系统中不可证，故G真，这样，就证明了在系统中有一个真命题不可证。用上面的例子说，就是任何唱机都不可能完备，它总有不能演奏的唱片。所以，蟹通过摄像机审视后不断调整唱机结构的方法是行不通的，因为乌龟总可以设计出一种它不能演奏的唱片。哥德尔定理的发现标志着希尔伯特方案的破产。

    论战中的另一方是以布劳威尔为代表的直觉主义学派。直觉主义学派认为，数学的基础和出发点是自然数的理论，而自然数则是由人的原始直觉（按时间顺序出现的感觉）构造出来的。数学理论可靠性的唯一标准就是心智上的可构造性。他们有一句名言：“存在必须等于被构造。”

    由此，他们反对“实无穷”，而支持“潜无穷”的观点。所谓“潜无穷”，就是把无穷看成一个不断创造着的又永远无法完成的过程，例如，把自然数看成一个无限延伸的序列1，2，3，…，而不是一个已经完成的集合｛1，2，3，…｝。他们进一步认为，实无穷的观念是集合论中产生悖论的根源。按照直觉主义的观点，要判定一个命题A为真，就必须给出A的构造性证明。要判定一个否定命题非A为真，就必须有一个构造，这一构造将任何一个假定原命题A为真的构造导致谬误，例如推出一对矛盾的命题B和非B。在经典逻辑和经典数学中，人们经常使用间接证明的方法：欲证一个命题为A真，不是直接去证明，而是先假定A不真，即非A真，然后推出逻辑矛盾，以此来证明命题为A真。这种方法直觉主义者是不能接受的，因为由非A推出逻辑矛盾并不意味着可以肯定命题A找到一个构造性证明。

    有一个故事很形象地说明了这个问题：

    一位能言善辩的人在滔滔不绝地说明“秘鲁地下有金矿”这一命题的正确性，可是，他既不清楚究竟在秘鲁的哪个地方有金矿，也不了解为什么会有金矿，也讲不出按照什么方法就一定能在一段时期内探明金矿的所在地，而只是兜着圈子论证：如果秘鲁地下没有金矿的话将会导致矛盾。一位听众提出了质问：“你的这番高论对于一个探矿者有何实际价值呢？”善辩者无言以对。

    基于他们的基本立场，直觉主义者断然否定排中律的普遍有效性。布劳威尔认为，排中律是从有穷事物中概括出来的，任何一个涉及有穷事物全体的命题，如“我们班所有的都戴眼镜”，总可以通过对这些事物逐一加以验证，来判明该命题的真假，这时，排中律是有效的。但是，如果人们忘记了排中律的有穷来源，把它看成普遍适用的原则，并把它用于无穷的场合，就会犯错误。这是因为，对于无穷的事物，我们不可能对它们一一加以鉴别。例如，设命题A为著名的哥德巴赫猜想：“每一个大于4的偶数都可以表示为两个素数之和”（素数为只能被1和本身整除的数），这是一个涉及无穷的命题（因为偶数和素数都是无穷的），至今还无法证明这一猜想，即不能断定A真；但我们也无法论证这一猜想是错的，因此，也不能断定非A真。这样，命题A既不能证实，也不能否定，排中律失效。同理可以看出，“所有集合的集合”、“所有不以自身为元素的集合的集合”等等都是无穷的事物，对它们是否具有某种性质、是否属于自身等都是无法证实或否证的，排中律不再适用，因此，悖论也不会出现。

    与许多其他解决悖论的方法如类型论、语言分层理论等不同的是，直觉主义学派采取的是一种激进的、釜底抽薪的方法，因为它使逻辑与数学的基础发生了根本性的转变。当然，企图维护经典逻辑与经典数学基础的人会极力加以反对。例如希尔伯特就很愤慨地说：“要想从数学家手中取走排中律，这就类似于想夺去天文学家的望远镜或禁止拳击家使用拳头一样。”

    随着悖论研究的深入，越来越多的人认识到必须正视矛盾，接受矛盾，拒斥排中律、不矛盾律。1980年，美国的逻辑学家雷歇尔和布兰登提出了“不协调逻辑”。他们认为，自然界的无矛盾性决不是什么经验事实，而是恰恰相反！但他们却指出，对这种不协调性的研究，即关于世界的思维应该是协调的，这正如对于醉酒者精神状态的研究可以是清醒的一样。所以，在其系统中，他们企图把矛盾局部化，就像治疗癌肿一般把它们圈禁起来，使其不能扩散开来泛滥成灾。

    在“不协调逻辑”之后，澳大利亚逻辑学家普里斯特和罗特列又提出了“超协调逻辑”。在介绍这种逻辑学说时，他们讲了一个土耳其人纳塞阿丁（13世纪人）的故事：

    纳塞阿丁的菜园里有二园丁。园丁甲照管卷心菜，发现菜上有害虫，即着手捉虫，把虫弄死并抛出墙外。园丁乙走来问甲道：“你在做什么？”园丁甲回答道：“杀虫。”园丁乙问：“杀虫干什么？”甲回答：“因为它们吃掉纳塞阿丁的菜。”但乙却说：“别杀虫了，虫子也有它们吃菜的需要。”于是，二人开始争吵并打了起来。纳塞阿丁和他的妻子恰好走过。纳塞阿丁问：“你们为什么打架？告诉我，由我来判断。”园丁甲说：“我说这些虫子务必杀灭干净，因为它们吃掉您的卷心菜”。纳塞阿丁答道：“你说得对。”但园丁乙说：“我说不要去碰这些虫子，让它们吃饱。”纳塞阿丁答道：“你说得对。”这时，纳塞阿丁的妻于对他说：“但是，纳塞阿丁，他们俩不可能都对。”纳塞阿丁又答道：“你说得对。”

    据普里斯特和罗特列说，纳塞阿丁的立场就是典型的超协调逻辑的立场。由这种立场出发得出杀虫，不杀虫，不能“杀虫对，不杀虫也对”，即A，非A，以及并非（A且非A），可以说是既承认不矛盾律又否认不矛盾律。

    普里斯特和罗特列认为，不可能有一种方法能真正彻底地解除悖论，因为悖论本身是真的。既然有的矛盾是真的，就毋需谈论什么“协调”（不矛盾）和“不协调”（矛盾）。逻辑必须超出传统的追求协调性的束缚，而成为“超”协调的，也就是说，对矛盾采取一种超然的态度。

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