一天晚上，某地一家百货商场被盗，当保卫人员闻声赶来时，罪犯已驾车逃之夭夭。经过公安人员的侦察，拘捕三个重大嫌疑犯：张三、李四和王五。后来，经过调查和审问了解到以下事实：1.不伙同张三，王五决不会作案；2.李四不会开车；3.罪犯就是这三个人中的一个或一伙。但到底谁是罪犯，大家仍然如坠云雾之中。在案情分析会上，侦察员们议论纷纷，各抒己见。
突然，小陈兴奋地说：“张三肯定是罪犯。”“何以知之？”大家一时不解。小陈解释说：“既然罪犯是这三个人中的一个或一伙。那么就是说，或者是张三，或者是李四，或者是王五。如果李四是罪犯，那么，他必是与张三或王五一起作案，因为罪犯是驾车逃走的，而李四不会开车。假如他是与张三共同作案，那么，张三就是罪犯；假如与王五一起作案，张三也是罪犯，因为王五伙同张三才作案。当然，如果是王五作案，那么，张三也去作案。总之，无论张三、李四、王五谁作案，张三都是罪犯。”
这时，大家才恍然大悟。经过提审，张三交待了作案的经过。
“张三肯定是罪犯”是小陈一开始所做的断定，在他看来，这是与实际符合的真判断，但在别人心目中，其真假是有疑问的。为了解开疑团，使人们心悦诚服，小陈就为此判断提出了理由。这种用一个或一些已知为真实的判断向别人说明另一判断真实性的思维过程就是论证。论证由论题、论据和论证方式三个要素构成。那个需要确定其真实性的判断叫做论题，它是要被说明的观点，是论证的中心，“张三肯定是罪犯”就是小陈的论题。论据就是引用来作为论题真实性根据的判断，这里，“不伙同张三，王五决不会作案”，“李四不会开车”等都是论据。论据有两种：一是事实论据，即已被证明的事实判断，平常所说的摆事实即指事实论据。小陈使用的都是事实论据。二是事理论据，即科学中的公理、定义及其他已证判断，平常所说的讲道理即指事理论据。数学证明中一般引用事理论据。论证方式就是用论据阐明论题的形式。由论据到论题的推演过程总是借助于一定的推理形式，因此可以说，论证方式是论证过程中所有推理形式的总和。上述例子中的论证方式整理后就是：
如果张三是罪犯，那么，张三是罪犯；如果李四是罪犯，那么，张三是罪犯；如果王五是罪犯，那么，张三是罪犯；罪犯或是张三，或是李四，或是王五；所以，张三是罪犯。
这实际上是三难推理的简单构成式。论证是推理的具体运用，但它与推理的差别在于，论证先提出论题，然后找出论据，而推理是先给出前提，然后由此推出结论；另外，一个论证一般包含许多推理。根据所使用的推理形式的不同，论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证。如果论证使用的是演绎推理（由一般推出个别），那么，它就是演绎论证。小陈的论证用三难推理（假言选言推理）证明论题，因此是演绎论证。如果论证使用的是归纳推理和类比推理，则相应地称为归纳论证和类比论证。
冯梦龙的《古今概谭》中有一则故事：翟永令的母亲虔信佛教，整日阿弥陀佛地念个不停，使翟永令非常厌烦。永令假装叫她，母亲应诺。于是，他又不断地叫起来，母亲恼怒地说：“无事为何不断地叫我？”永令说：“我叫母亲三四次，母亲便不高兴，那佛爷每天被你叫千万声，又当如何？”结果，他的母亲减少了念佛的次数。
翟永令劝阻母亲念佛，既不是大谈哲理，也不是横加干涉，而是巧妙地用一简单的类比论证，三言两语就把老太太说服了。
论证还有直接论证和间接论证之分。直接用真实的论据来说明论题真实性的论证称为直接论证。小陈和翟永令的论证都是直接论证。间接论证是通过确定其他判断的虚假来确定论题真实性的论证，最常用的是反证法。
星期天，某班全体同学到千佛山进行集体活动。班长提议做个游戏。他挑出张震、李雷、王雨三人，对他们说：“你们三人纵队站好，张震在最前面，李雷站在中间，王雨在最后，谁都不许往后看。我这里有五顶帽子，三顶红的，两顶绿的，你们每人戴上一顶，剩下的我藏起来。现在请你们猜一猜自己头上戴的帽子是红的还是绿的。”李雷和王雨猜了一会儿，都说猜不着。这时张震说：“我猜着了，我戴的是红的。”“你是怎么猜的？给大家讲一讲吧！”
“如果我戴的是绿的，那么还剩一只绿的。这里有两种可能：一是李雷戴着，那么，王雨很容易就能猜到自己戴的是红的，因为他能看到我们两人都戴着绿帽子。但是，王雨无法猜出，显然不是李雷戴着。另一种可能是王雨戴着或谁也没戴，那么，我和李雷戴的是一红一绿，王雨当然猜不出，但这时李雷可以猜出，他这样想：‘前面张震戴的是绿帽子，如果我也戴绿的，王雨就会很快猜出，王雨既然猜不出，所以，我戴的是红帽子。’而李雷也猜不出，因此，我戴的不是绿帽子，而只能是红帽子。”
张震不是直接去论证“我戴的是红帽子”这一论题，而是先假设反论题（原论题的矛盾判断）“我戴的不是红帽子”为真，但由此推出与事实相反的情况，因此，反论题不能成立，而论题与反论题为矛盾关系，既然反论题假，论题为真。可以看出，反证法就是通过确定反论题的虚假来确定论题真实性的间接论证。反证法的关键是确定反论题的虚假，如果由反论题推出的判断：（1）与已知条件或有关事实矛盾，（2）与公理、定理矛盾，（3）自相矛盾，则可知反论题是虚假的。反证法既可避免直接表态，又可有力地说服对方。有些不便进行直接论证的论题，往往采用反证法，数学中的许多证明就是如此。
原来对小陈和张震的观点还大惑不解的人们在听了他们俩的分析说明后都为之叹服，这是因为他们二人使用的论据（理由），如“罪犯或者是张三，或者是李四，或者是王五”，“如果王五是罪犯，那么，张三是罪犯”，“如果我戴的是绿帽子，那么，还剩一只绿帽子”等都是符合有关事实或已知条件、人们共同认可的真判断，而由这些理由，根据三难推理简单构成式、充分条件假言推理否定后件式等有效推理形式能够必然得到论题，也就是说，他们的理由是充足的。
一个论证要有说服力，就要“以理服人”，这就必须遵循充足理由原则。充足理由原则是说：在思维过程中，任何被确定为正确的观点、理论都有其充足的理由。充足理由原则有两条要求：（1）作为理由（论据）的判断必须是真实的；（2）理由与推断之间应当具有必然联系，从理由能够推出所要论证的论题。
在论证中，人们是从论据的真实性中推出论题的真实性，如果论据本身是虚假的，论题当然得不到确认。违反这条要求就会犯“虚假理由（论据）”的错误。出现虚假论据可能是因为人的认识水平不够，以假为真，也可能是某些人为了自己不可告人的目的故意以假乱真。如古时有的地方发生旱灾，一些搞巫术的人装神弄鬼，乘机向农民搜刮“求雨钱”。他们竟然还愚弄人们说：“如果求雨后下了雨，这就是龙王显灵了，大家应该出香火钱感谢；如果求雨还下不了雨，说明大家心不诚，要出更多的钱继续求龙王降福；或者下雨，或者不下雨；总之，大家都应交求雨钱。”巫师使用了二难推理的简单构成式进行论证，但是，两个假言前提的前件与后件并不具有充分条件关系，就是说，有的论据是虚假的，因此，其论题不可能真正地确定为真。
违反第一条要求的另一种错误是“预期理由”，即引用真假尚待证实的判断作为论据。论据的真实性尚未证实，那么，论题的真实性也就没有得到论证。例如，古代曾有人这样论证“宇宙是有限的”：如果宇宙是没有界限的，那么，它就没有一定的中心；但是，一切物体都以地球为中心，后者有一定的位置并是宇宙的中心；所以，宇宙是有限的。在此论证中，“地球是宇宙的中心”在当时为未加证明的判断引用它作为论据就是“预期理由”。当然，现在已经证实“地球是宇宙的中心”为一虚假判断。
如果论题与论据没有必然联系，就会犯“推不出”的错误。例如，张三对李四说：“王五一定患肺炎了。”“你怎么知道？”“如果一个人患肺炎，那么，他就会发烧，王五高烧40度，难道还不是患了肺炎吗？”张三论证中的两个论据都是真实的判断，但由此并不能推出论题，因为这里的论证方式是充分条件假言推理的肯定后件式，违反了推理规则。违反推理规则说明论题不是由论据必然得出，这就犯了“推不出”的错误。
另一种“推不出”的错误是“论据与论题不相干”，就是说，论据和论题可能是真实的，但论据的真实性与论题的真实性毫无关系，这样，由论据当然推不出论题。《笑笑录》中有一则笑话：
戚某书读得多了，反成了书呆子。一日早起，问一婢女：“你昨夜梦见我了吗？”婢女答道：“没有。”他大声斥责：“我梦中分明见了你，为何想赖？”然后跑到母亲那里说：“痴婢该打，我昨夜梦见她，她坚持说没梦见我，真乃岂有此理！”
自己梦见别人与别人梦见自己之间并无必然联系，因此，不能由晚上梦见别人推得人家也梦见你了。这种论证不过是痴人说梦，显然不能成立。
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