自一九○○直到一九一○这些年，怀特海和我把我们大部分的时间都用于后来所成的《数学原理》。虽然这部著作的第三卷到一九一三年才出版，我们在这部书里的任务（除去校对）是在一九一○年完成的，我们在那一年把全部稿子交给了剑桥大学出版社。
我在一九○二年五月二十三日写完的《数学的原理》结果变成了其后那部著作的一个粗糙、很不成熟的草稿。可是，《数学的原理》和《数学原理》不同之点是，《数学的原理》是包含着和别的一些数学哲理的争论。
我们所想解决的问题有两种：哲学的与数学的。大致说来，怀特海把哲学问题留给我。至于数学问题，记号法大部分是怀特海创制的，（引用皮亚诺者除外）。关于级数大部分的工作是我做的，其余是怀特海做的。但是这只是指初稿。每一部分都是弄过三次。我们两个人不管是谁拟出一个初稿的时候，他就把这个初稿送交另一个人，这一个人通常是把它大加修改。然后，原来拟初稿的人再把它最后定稿。这三卷书几乎没有一行不是合作的成品。
《数学原理》的主要目的是说明整个纯粹数学是从纯乎是逻辑的前提推出来的，并且只使用以逻辑术语说明的概念。这当然和康德的学说正是相反。一开始我以为这部书是用以驳斥“那个强词夺理的庸人”的一个插话，这个对康德的称呼是佐治?坎特说的。
坎特为表示得更明确一点，又说：“他不大懂得数学”。但是后来这部书向两个不同的方向发展了。在数学方面，整个新的题目出现了，包含新的记号法在内，有了这种新的记号法，就可以把从前用散漫粗疏的普通语言所对待的事物，用符号来处理。在哲学方面，有两种相反的发展，一种是愉快的，一种是不愉快的。愉快的是，所需要的那套逻辑机构结果是比我所想象的要小。特别是，结果知道类是不必要的了。在《数学的原理》里有许多是讨论一的类和多的类二者之间的区别。关于这一点的全部讨论，以及那本书里很多复杂的论证，证明是不必要的。结果是，那本书写成后好象是缺乏高深的哲理，难解是高深的最明显的特点。
那个不愉快的方面确实是很不愉快的。自亚里士多德以来，无论哪一学派的逻辑学家，从他们所公认的前提似乎可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病，但是指不出纠正的方法是什么。在一九○一年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。我把这件倒运的事告诉了怀特海，他引了一句话：“愉快自信的清晨不再来”，我却不能得到安慰。
坎特证明没有最大的基数。我是把坎特的这个证明细想了一番之后，发现了上述的那个矛盾的。我脑筋简单，以为世界上所有的事物的数目一定是可能有的最大数目了。
我把他的证明用于这个数目，看一看怎么样。这个办法使我考虑一个特殊的类。我顺着以前看起来好象是适当的路线去思索，我觉得一个类有时候是，有时候又不是它自己的一个项。举例来说，匙子这个类不是另一个匙子。但是，不是匙子的那些事物的这个类却是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是负的：例如，所有类这个类是一个类。
把坎特的论证加以应用，使我考虑不是自己的项的那些类。好象这些类一定成一类。我问我自己，这一个类是不是它自己的一项。如果它是它自己的一项，它一定具有这个类的分明的特性，这个特性就不是这个类的一项。如果这个类不是它自己的一项，它就一定不具有这个类的分明的特性，所以就一定是它自己的一项。这样说来，二者之中无论那一个，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾。
最初我以为在我的推理的里面必是有怎么一种小小的错误。在一种逻辑的显微镜下我检查了每一步，可是我发现不出有什么不对来。我给弗雷格写了一封信，把这件事告诉了他。他回答说，算术发生了动摇，他并且说，他看出他的第五个定律是不能成立的。
这个矛盾使弗雷格十分烦恼，他放弃了从逻辑演绎出算术的企图，直到那个时候为止，他本是一生致力于此的。就象遇到无理数的毕达哥拉斯的门徒们一样，弗雷格逃到几何学里去了，显然他以为直到那个时候，他一生的事业是走错了路。至于我呢，我觉得毛病是在逻辑，而不在数学，逻辑非加以改造不可。由于发现了一个秘诀，我的这个意见得到了证实，用这个秘诀可以制造出简直是无限数目的矛盾来。
对于这个情形，哲学家和数学家们有各种不同的反应。班格莱是不喜欢数理逻辑的，他曾非难数理逻辑，以为它是不能有结果的。他高兴地说：“它不是不能有结果的了，它产生了矛盾。”这话的确是很好，但是并不能解决问题。一些别的不赞成佐治?坎特的数学家采取三月兔的解决办法：“这个我腻烦了，我们还是换个题目罢”。我觉得这也不妥当。但是后来有些人认真想解决这个问题，那些人懂得数理逻辑，并且知道确有用逻辑解决的必要。其中第一个人是F．Ｐ．莱穆塞。
不幸他死得早，没有完成他的工作。但是在《数学原理》出版以前的那些年，我不晓得后来对解决这个问题所做的努力。
我实际上是独自在那里纳闷。
有一些更老的悖论（其中有一些是为希腊人所知道的）我觉得引起了类似的问题，虽然我以后的一些作者认为这些悖论是另外的一种。其中最著名的是那个关于克利特人艾皮米尼地斯的悖论。他说所有的克利特人都是说谎的人。这就使人问，他说这话，他是不是不说谎。如果一个人说：“我是说谎呢”，这就是这个悖论所表现的最简单的形式。如果他是说谎，那么他是说谎就是一个谎，因此他就是说实话；但是如果他是说实话，他就是说谎，因为那是他说他正在做的事。这样，矛盾就是不能避免的。圣保罗曾经提到过这个悖论①。可是他对于这个悖论的逻辑方面并没有兴趣。他所感兴趣的是，这个悖论证明异教徒是坏的。但是数学家们可以把这些难以索解的问题打发开，以为是和他们的科目毫无关系，虽然他们不能把是否有一个最大的基数或最大的序数这些问题置之于不顾，这两个问题都使他们陷入矛盾。关于最大序数的矛盾是在我发现我的矛盾之前被布拉力福尔提发现的。但是他的这件事是复杂得多，因此我也就以为在推理上是有些小小的错误。无论如何，因为他的矛盾远不象我的矛盾那么简单，乍一看来好象摧毁的力量不是那么大。可是，结果我不得不承认其严重是一样的。
在《数学的原理》里我并没有公然说我已经找到了一个解决的方法。我在那本书的序言里说：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书，我的解释是，经过研究，在第十章中所讨论的矛盾，我看不出最近有得到适当解决的希望，对于类的性质最近也没有希望看得更深更透。有些解决的办法曾使我得到一时的满足。后来常常发现这些解决的办法是有错误的。这种发现使人觉得，好象是较长时间的思索也许可以得出一些表面看来是满意的学说，有了这些学说，问题就显露不出来了。因为这个道理，只把困难说出来，比等下去一直到我相信一个几乎一定是错误的学说中有真理，好象是要更好一点。”
在讨论矛盾的那一章之末我说：“上面所说的矛盾不包含特殊的哲学。这种矛盾是直接起源于常识。这种矛盾唯一解决的办法是放弃某种常识的假定。只有以矛盾为滋养的黑格尔哲学才能不关心，因为它处处遇到与此类似的问题。在任何别的学说里，这样一个正面的挑战要求你做出一个答覆，否则就是自己承认没有办法。幸而，就我所知，在《数学的原理》的任何别的部分，没有别的与此类似的困难出现。”在书后的附录里我提出类型说可以给予一个言之成理的解释。最后我深信这个学说会解决这个问题，但是在我从事写作《数学的原理》的时候，我只把这个学说弄得粗具规模。
这个学说在此情形之下是不能胜任的。我在那个时候所得到的结论表现在这本书的最后一段里：“总括起来说，看来第十章的那个特别的矛盾是被类型说解决了。只是，至少有一种很类似的矛盾大概是不能用这种学说解决的。看来所有逻辑的对象或所有命题，全体包含一种基本的逻辑上的困难。这种困难的完满解决是什么，我还没有发现到；但是因为它影响推理的基础，我恳切盼望所有治逻辑学的人对它加意研究。”
《数学的原理》写完之后，我准备决意对于这些悖论找到一个解决。我觉得这几乎是对我个人的一个挑战，而且，如果势不得已，我就要花掉我整个的余年来应战。但是有两个理由我以为这是极其不愉快的。第一，我觉得这整个问题是无足重轻的。我极不愿意把注意力集中在一件并不见得实在是有趣的事情上。第二，恁其我怎么努力，我没有进展。一九○三年和一九○四年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。我第一个成就是一九○五年春季的叙述学说。这个学说我将在下文谈到。
在表面上看，这是和这些矛盾没有关系的，但是后来一种没有想到的关系出现了。最后，我看得十分清楚，类型说的某种形式是极关紧要的。我现在不着重来讲在《数学原理》里讲到的那个学说的特殊形式。但是我仍全然深信，没有这个学说的某种形式，这些悖论就无法解决。
正当我在寻求一个解决办法的时候，我觉得如果这个解决完全令人满意，那就必须有三个条件。其中的第一个是绝对必要的，那就是，这些矛盾必须消失。第二个条件最好具备，虽然在逻辑上不是非此不可，那就是，这个解决应该尽可能使数学原样不动。
第三个条件不容易说得正确，那就是，这个解决仔细想来应该投合一种东西，我们姑名之为“逻辑的常识”，那就是说，它最终应该象是我们一直所期待的。在这三个条件之中，第一个当然是大家所公认的。可是第二个是为一个很大的学派所否认的，他们认为分析的很大一部分是不正确的。那些以善用逻辑而自满的人以为第三个条件是不重要的。
举例来说，奎尹教授曾制作出一些体系来。我很佩服这些体系的巧妙，但是我无法认为这些体系能够令人满意，因为这些体系好象专是为此创造出来的，就是一个最巧妙的逻辑学家，如果他不曾知道这些矛盾，也是想不到这些体系的。但是，关于这一个问题已经出现了大量而且很深奥的文献，其细微的地方我就不再多说了。
撇开困难的专门细节不谈，我们可以把类型说的梗概说一说。也许研究这个学说的最好的办法是考查一个“类”的意义是什么。我们先用一个平凡的例子来说明。假定饭后请你吃饭的主人在三种甜食里面请你挑选，要你吃一种或两种，或三种都吃，随你的意。你可以有多少办法呢？你可以都谢绝。这是一种办法。你可以在甜食之中取一种。
这有三种不同的可能的办法，所以你又有三种选择。你可以选得甜食之中的两种。这又可能有三种办法。或者三种甜食你都要。这给你一个最后的可能性。这样说来，可能性的总数是八，也就是２３。不难把这个程序归纳成通则。假定在你面前有ｎ那么多的东西，你想知道在ｎ之中一个不选，或选几个，或者都要，一共有多少选择。你就要知道，办法的数目是２n。用逻辑的语言来说：一个有ｎ项的类有２n那么多的次一级的类。如果ｎ是无限的，这一个命题仍然是正确的。坎特所证明的是，即使在这一个例子中，２n是大于ｎ。如果像我那样把这个应用于宇宙中的一切事物，我们就得到这样一个结论：事物的类是多于事物。因此类就不是“事物”。但是，因为没人十分懂得这句话里“事物”这个字是什么意思，把我们所已经证明出来的东西很确切地说出来是不很容易的。
我所不能不得出来的结论是：类不过是说话时的一种方便而已。在我写作《数学的原理》的时候，关于类这个问题我已经有些觉得没有办法。可是，我那时候表达意思所用的语言，我现在想来，是不应该那么有实在论的色彩的（实在论是取经院哲学上的意义）。
我在那本书的序文中曾这样说：“讨论难以界说的东西（占哲学逻辑的主要部分）是想法子把这些实体看得清楚，也是使别人看明白这些实体，这样，我们的心理也许对于这些实体有一种认识，和认识红的颜色或菠萝的味道一样。凡我们获得难以界说的东西主要是在分析过程中必然留有残余的时候（现在所说的例子就是如此），知道一定有这样的实体往往比实际上觉察到这些实体要容易一些；有一种过程，这种过程和发现海王星的过程相类似，只是有一个不同之点，就是，用精神的望远镜来寻求那个已经推论出来的实体，这个最后的阶段往往是从事这件事情最困难的部分。关于类这个例子，我不得不坦白地说，我没有看出有任何概念可以满足类这个概念的必要条件。在第十章中所讨论的矛盾，证明有些东西不大对，但是，这究竟是什么我一直看不出来。”
我现在对于这件事的说法应该有些不同了。我应该说，假定有任何命题函数，比如说fx，那么x的值就有一个相当的范围，就这个值的范围来说，这个函数是“有意义的”，也就是说，不是真就是伪。如果ａ是在这个范围之中，fa就是一个命题，这个命题不是真就是伪。除了用一个常数代替x这个变数以外，关于一个命题函数，还有两件事可做：一件是说它永远是真；另一件是说它有时是真。“如果x是人，x就不免于死”这一个命题函数永远是真；“x是人”这一个命题函数有时是真。所以关于一个命题函数有三件事情可做：第一是用一个常数来代替变数；第二是对于这个函数的一切值加以断定；第三是对于一些值，或者至少一个值，加以断定。
命题函数本身只是一个式子而已。它并不对于什么加以断定或否定。同样，一个类不过是一个式子而已。它只是谈使这个函数为真的变数的那些值的一种方便方法而已。
关于上面所说解决这个问题所需要的三个必要条件之中的第三个条件，我曾提出来一个学说，这个学说好象是不合别的那些逻辑学家的意的。可是在我看来，这个学说仍然是正确的。这个学说可以述之如下：当我对于一个fx函数的一切值加以断定的时候，我断定的若要明确，x所能采取的值就必须是明确的。那就是说，x所可能有的值必须有一个总体。
如果我现在进而创立以那个总体来说明的新的值，这个总体好象就因此扩大了，而且与它有关的新的值也就因此和那个扩大了的总体有了关系。但是，因为新的值不能不包括在这个总体之中，这个总体就永远追不上这些新的值，这个过程就好象你想要跳到你的头的影子上。我们用那个关于说谎的人的悖论最能简单地对于这一点加以说明。那个说谎的人说：“不论我说什么都是假的”。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。我们不能不把涉及命题总体的命题和不涉及命题总体的命题加以区分。那些涉及命题总体的命题决不能是那个总体之中的份子。第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。所以我们那位说谎的人现在就不能不说：“现在就是肯定一个第一级的伪命题，这是伪的。”但这本身是一个第二级的命题。
所以他不是说出任何第一级的命题。因此他所说的简直就是伪的，说它也是真的这种议论不攻自破。这种论证完全可以用于任何高一级的命题。
我们可以发见，在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指，这种反身自指应该根据同样的理由加以指斥。那就是说，它包含讲那个总体的某种东西（这种东西又是总体中的一份子）。如果这个总体已经固定了，这种东西才有明确的意义。
我不能不坦白地说，这个学说还没有获得广泛的承认。但是我还没有见到能使我信服的反对这个学说的论证。
前面曾经提过的叙述学说是在发表于一九○五年《心》学报的我的一篇文章《论指示》中第一次提出的。那时的那位编辑人觉得这个学说很不合理，他请我重加考虑，不要要求照原样发表。但是，我相信这个学说是正确的，我拒绝让步。
这个学说后来得到普遍的承认，大家以为这是我对于逻辑最重要的贡献。的确，现在那些不相信名称和别的字之间是有区别的人对于这个学说是有一种反应。但是我认为只有在那些没有弄过数理逻辑的人之中才有这种反应。总而言之，我在他们的批评里看不出任何正确性来。可是我承认，也许名称学说要比我有一个时期所想的稍微难一点。
可是我暂时把这些困难搁下不管，来讲一讲普通所用的日常语言。
我曾取“斯考特”这个名称和“《威弗雷》的作者”这个叙述之间的对比来作我的论证之用。“斯考特是《威弗雷》的作者”这个命题是表示一个同一性，不表示一个同义反复。
佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者，可是他并不想知道斯考特是不是斯考特。虽然这使每一个未曾研究过逻辑的人都能了解，对于逻辑学家却是一个谜。逻辑学家们认为（也可以说从前认为），如果两种措辞是指一种东西，包含其一措辞的一个命题就永远可以被包含另一种措辞的一个命题所代替，而不失其为真，如果原来那个命题是真，或不失其为伪，如果原来那个命题是伪。但是，我们已经说过，用“斯考特”
代替了“《威弗雷》的作者”之后，你可以把一个真命题变成一个伪命题。这表明不能不把一个名称和一个叙述加以区别：“斯考特”是一个名称，可是“《威弗雷》的作者”
就是一个叙述。
名称与叙述之间另外一种重要的分别是，如果一个名称没有所指，它在一个命题里就没有意义，而一个叙述却不受这种限制。我对麦农的工作原是表很大的敬意的，他却看不出这种区别来。他曾经指出，我们可以提出一些命题来，其逻辑的主辞是“金山”，虽则金山并不存在。他的持论是，如果你说金山并不存在，显然你所说的有一种东西是不存在的，也就是说，金山：所以金山一定是存在于柏拉图哲学里某种渺茫的有的世界之中，因为，若不是如此，你的那个金山不存在的命题就是没有意义的。我老实说，在我想出叙述学说以前，我觉得麦农这种论证是令人信服的。这个学说的要点是，虽然“金山”在文法上可以是一个有意义的命题的主辞，这样一个命题，如果正确地分析了以后，就没有这样一个主辞了。“金山不存在”这个命题就变成了“就x的一切值来说，‘x是金的而且是一座山’这个命题函项是伪的”。“斯考特是《威弗雷》的作者”这个命题变成了“就x的一切值来说，‘x写了《威弗雷》’等于‘x是斯考特’。”在这里，“《威弗雷》的作者”的字样就不再出现了。
这个学说还弄明白了“存在”是什么意思。“《威弗雷》的作者存在”意思是说“有一个ｃ的值，就这一个值来说，ｘ写了《威弗雷》’永远等于‘x是ｃ’这一个命题函项是真的。”
从这个意义来说，存在只能用来说一个叙述，而且，经过了分析之后，就可以见出是一个命题函项的例子，至少就变项的一个值来说是真的。我们可以说“《威弗雷》的作者存在”，我们也可以说“斯考特是《威弗雷》的作者”，但是“斯考特存在”是不正确的说法。这种说法最多能解释为有这种意思：“名叫斯考特的那个人存在”，但是“名叫斯考特的那个人”是一个叙述，不是一个名称。凡是把一个名称适当地当做一个名称用的时候，说“它存在”是不正确的。
叙述学说的主要之点是，一个短语对于一句话的意思可以有所贡献，若是单独用的时候就完全不具有任何意义。就叙述来说，关于这一点有精确的证明：如果“《威弗雷》的作者”是指“斯考特”以外的什么东西，“斯考特是《威弗雷》的作者”就是伪的，实际上这个命题并不伪。如果“《威弗雷》的作者”是指斯考特，“斯考特是《威弗雷》的作者”就是同义反复，而实际上并非如此。所以，“《威弗雷》的作者”既不指“斯考特”，也不指什么别的东西。那就是说，“《威弗雷》的作者”什么也不指。证讫。