大家只从哲学的观点来看《数学原理》，怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题，大家很有兴趣，但是对于这部书里所发现的数学技巧，大家是不感兴趣的。我从前知道只有六个人读了这部书的后面几部分。其中三个是波兰人，后来（我相信）被希特勒给清算掉了。另外三个是得克萨斯州人，后来被同化得很满意。甚至有些人，他们所研究的问题和我们的问题完全一样，认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。我举两个例子：大约在《数学原理》出版十年之后，《数学纪事》发表了一篇长文，其中一些结果我们在我们的书里的第四部分不约而同早已经弄出来了。这篇文章里有些错误，我们却避免了，可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴赫同事的时候出现的。他告诉我，他有一项发明，他把数学归纳法引伸了。他名之为“超限归纳法”。我对他说，这个问题是在《数学原理》的第三卷里充分讨论过的。过了一个星期，他对我说，他已经证实了这一点。我想在本章里尽可能不过于专门，从数学的观点，不从哲学的观点，把《数学原理》我认为重要的几方面解释一下。
我先从一个问题着手，这是一个哲学上的问题，也同样是一个数学上的问题，就是，关系的重要性。在我的论莱布尼茨的书里，我曾着重讨论过有关系的事实和命题的重要性，和这些相对立的是由本体——和——属性而成的事实和由主辞——和——宾辞而成的命题。我发现对关系所持的偏见在哲学和数学里是发生了不良影响的。正象莱布尼茨未获成功的努力一样，布尔的数理逻辑是讨论类的包含的，而且只是三段论法的一种发展。皮尔斯曾弄出一种关系逻辑，但他是把关系当作一种由双而成的类。这在技术上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的东西。在关系逻辑里重要的东西是与类逻辑不同的东西。关于关系，我在哲学方面的意见有助于使我着重一种东西，这种东西结果变得极为有用。
在那个时候，我几乎是只把关系认做是内包。我想到了这样一些句子：“ｘ在ｙ之前”、“ｘ大于ｙ”、“ｘ在ｙ之北”。那时我觉得（我现在确是仍然觉得），虽然从一种形式算法的观点来看我们可以把关系当做一套有序的偶，可是使这一套成为一个统一体的只是内包。当然，类也是如此。使一个类成为一个统一体的只有那个为类中的各项所共具、又为各项所特有的内包。凡是我们对付一个类，其中的项我们无法列举的时候，上面所讲的道理是显而易见的。就无限的类来说，无法列举是很明显的，可是大多数有限的类也正是如此。举例来说，谁能列举蠼螋这个类其中的各项呢？虽然如此，我们还是可以说出一些关于一切蠼螋的命题来（或真或伪），我们之所以能够如此，乃是由于使这个类所以能够成立的内包。以上所说各点也一样可以用于关系。关于时间上的次序，我们有很多事情可说，因为我们懂得“在先”这个字的意思，虽然ｘ在ｙ之先这样的ｘ，ｙ一切的偶我们是无法列举的。但是对于关系是偶的类这种见解还有一个反对的议论：这些偶必须是有序的偶，那就是说，我们必须能够分别ｘ，ｙ这个偶和ｙ，ｘ这个偶。若是不藉内包上的某种关系，这是做不到的。只要我们只限于类和宾辞，就不可能解释次序，或把一个有序的偶和无序的一个两项的类加以区分。
所有这些都是我们在《数学原理》里所发展出来的关系算法的哲学背景。我们不得不把各种概念用符号来表示，这些概念在以前是数理逻辑学家们没有弄得显著的。这些概念中最重要的是：（１）由一些项而成的类，这些项对于一个既定的ｙ项有Ｒ关系；（２）由一些项而成的类，对于这些项一个既定的ｘ项有Ｒ关系；（３）关系的“范围”，这个范围是由一个类而成，这个类中所有的项对于某种什么东西有Ｒ关系；（４）Ｒ的“相反范围”，这个范围是由一个类而成，某种什么东西对于这个类中所有的项有Ｒ关系；（５）Ｒ的“领域”，这个领域是由上面所说的那种“范围”和“相反范围”而成；（６）一种Ｒ关系的“反面”，这是ｘ和ｙ之间有Ｒ关系的时候，ｙ和ｘ之间所具的一种关系；（７）Ｒ和Ｓ两种关系的“关系产物”，这是有一个ｙ中项的时候，ｘ和ｚ之间的一种关系，ｘ对于ｙ有Ｒ关系，ｙ对于ｚ有Ｓ关系；（８）复数，界说如下：有既定的某ａ类，我们形成一个由若干项而成的类，所有这些项对于ａ的某项有Ｒ关系。我们可以看一看人与人的关系来作以上各种概念的例子。举例来说，假定Ｒ是父母与子女的关系。那么，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；（３）是所有那些有子女的人的类；（４）是所有那些有父母的人的类，那就是说，除了亚当和夏娃以外，每人都包括在内；（５）“父母”关系的领域包括每个人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）“的父母”这种关系的反面是“的子女”那么一种关系；（７）“祖父母”是父母与父母的关系产物，“弟兄或ae?妹”是“子女”与“父母”的关系产物，“堂兄弟或弟兄或ae?妹”是孙和祖父母的关系产物，余可以类推；（８）“伊通学院学生的父母”是按这一个意义来说的复数。
不同种类的关系有不同种类的用处。我们可以先讲一种关系，这种关系产生一种东西，我名之曰“叙述函项”。这是最多只有一项对于既定的一项所能有的一种关系。这种关系产生用单数的“ｔｈｅ”这个字的短语，如“ｔｈｅfａｔｈｅｒofｘ”（ｘ的父亲），“ｔｈｅｄｏｕ－ｂｌｅofｘ”（ｘ的两倍），“ｔｈｅｓｉｎｅofｘ”（ｘ的正弦），以及数学中所有的普通函数。这种函项只能由我名之曰“一对多”的那种关系产生出来，也就是最多一项对于任何别的一项所能有的那种关系。举例来说，如果你正在谈一个信基督教的国家，你可以说“ｘ的妻”，但是如果用于一个一夫多妻制的国家，这一个短语的意思就不明确了。在数学里你可以说“ｘ的平方”，但是不能说“ｘ的平方根”，因为ｘ有两个平方根。前面所列的表里的“范围”、“相反范围”和“领域”都产生叙述函项。
第二种极其重要的关系是在两个类之间建立一种相互关系的那种关系。这种关系我名之曰“一对一”的关系。这是这样一种关系，在这种关系中，不仅最多只有一个对于一个既定的ｙ有Ｒ关系的ｘ，而且最多也只有一个ｙ，对于这个ｙ一个既定的ｘ有Ｒ关系。举一个例子：禁止一夫多妻的婚姻。
凡是在两个类之间有这样一种相互关系存在，这两个类的项的数目就是一样的。举例来说：不用计算我们就知道妻的数目和夫的数目是一样的，人的鼻子的数目和人的数目是一样的。有一种特殊形式的相互关系，这种关系也是极其重要的。
这种相互关系的起因是：有两个类是Ｐ和Ｑ两个关系的领域，并且在它们之间有一种相互关系，凡是两个项有Ｐ这种关系的时候，它们的相关者就有Ｑ这种关系，反之亦然。结过婚的官吏的位次和他们的妻的位次就是一个例子。如果这些妻不和贵族有关系，或者如果这些官吏不是主教，这些妻的位次就和丈夫的位次是一样的。这种产生相互关系的东西名曰“次序的相互关系产生者”，因为不管在Ｐ领域中的各项有怎么一种次序，这种次序总保存在Ｑ领域中的它们的相关者中。
第三种重要的关系类型是产生系列的一种关系。“系列”是一个旧的，人人都熟悉的名辞，但我认为我是给这个辞以一个确切意义的第一个人。一个系列就是一个组，包含若干项，这些项有一个次序，这个次序来源于一种关系，这种关系具有三种性质：（ａ）这种关系一定是不对称的，那就是说，如果ｘ对ｙ有这种关系，ｙ对ｘ就没有这种关系；（ｂ）它一定是及物的，那就是说，如果ｘ对ｙ有这种关系，并且ｙ对ｚ有这种关系，ｘ对ｚ就有这种关系；（ｃ）它一定是连接的，那就是说，如果ｘ和ｙ是这种关系领域中的任何不同的两项，那么，不是ｘ对于ｙ有这种关系，就是ｙ对于ｘ有这种关系。如果一种关系具备了这三种性质，它就把它领域中的各项排列在一个系列中。
所有这些性质都很容易用人与人关系的例子来说明。?丈?夫这种关系是不对称的，因为如果Ａ是Ｂ的丈夫，Ｂ就不是Ａ的丈夫。相反，配偶就是对称的。祖先是及物的，因为Ａ的一个祖先的一个祖先是Ａ的一个祖先；但是?父?亲是不及物的。在一个系列关系所必具的三个性质之中，祖先具备两个，不具备第三个，“连接”，那个性质，因为，并不是任何两个人之中，一个一定是另一个的祖先。另外一方面，举例来说，如果我们看一看一个皇室的王位继承，儿子总是继承父亲，仅限于这个王系的祖先关系是连接的，所以这些国王形成一个系列。
上面这三种关系是逻辑和普通数学之间过渡的极为重要的关系。
现在我想进而把几种发展的大意说一说，以上所讲的逻辑上的那一套对于这些发展是很有用的。但是在讲之前，我先说几句概括的话。
在我年轻的时候，人家告诉我说，数学是关于数目和量的科学，另一种说法是，数学是关于数目和度量的科学。这一个定义失之过于狭隘。第一：在传统的数学里所讲的那些很多不同种类的数目只占数学方法所应用到的那个范围的一小部分，并且，为建立算术的基础我们所不能不有的推理是和数目没有很密切的关系的。第二：在讲算术和算术的绪论的时候，我们不可忘记，有些定理对于有限的和无限的类或数来说都一样是真的。只要可能，我们不应该只为前者对于这些定理加以证明。说得更普通一些，如果在比较普遍的范围内我们可以证明一些定理，我们认为，在特殊某类的实例中对于这些定理加以证明是一件耗费时间的事。第三：算术中的一些传统的形式定律，即，结合定律，（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）交互定律，ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ以及乘法上的一些类似的定律和分配定律ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）我们认为证实这些定律是我们的目的的一部分。初学数学的人只学了这些定律而无证明，要不然，如果有证明，他们是用数学归纳法，因此只对于有限数是有效的。加法和乘法上的普遍定义假定因数的数目是有限的。我们竭力想去掉包括以上所说那一种在内的一些限制。
用所谓“选择”的方法，我们可以把乘法扩展到无限多的因数。用选举议会的议员这个例子最容易使我们明白选择这个概念是什么。假定在该国家里每一个选举出来的议员必须是选民中的一员，整个议会就是自选民而来的一个所谓“选择”。大意是这样：如果有一个由若干类而成的类，那若干类中没有一个是零，选择就是一种关系，从每类中挑出一个项来做那类的“代表”。这样做法的数目（假定没有一项为两类所共有）就是这些类的数目的积数。举例来说，假定我们有三个类，第一个是由ｘ１，ｘ２，ｘ３而成，第二个由ｙ１，ｙ２，ｙ３而成，第三个由ｚ１，ｚ２，ｚ３而成，凡是包含一个ｘ，一个ｙ和一个ｚ的类就是自三类的类而来的一个选择。无论哪一个读者都不难弄明白有二十七种办法来做这种选择。
在我们采用了这种乘法的定义之后，我们遇到了一种没有想到的困难。如果类的数目是无限的，好象我们就无法确知选择是可能的。如果这些类的数目是有限的，我们可以从每一类里任意挑出一个代表来，在大选里就是这样；但是，如果这些类的数目是无限的，我们就无法有无限数目的任意的挑选，并且我们不能确知可以做出一个选择来，除非有一个内包来得到所希望的结果。我举一个例子：从前有一个百万富翁，他买了无数双鞋，并且，只要他买一双鞋，他也买一双袜子。我们可以作一个选择，从每双鞋里挑一只，因为我们总是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋来说，选择是存在的。但是，论到袜子，因为没有左右之分，我们就不能用这个选择的规则。如果我们想从袜子之中能够加以选择，我们就不能不采取一种精密得多的方法。例如，我们可以找出一个特点来，在每双袜子中有一只比另一只更近于这个特点。
这样，我们从每一双里挑选那一只比较近于这个特点的袜子，我们就选择出来了一套。我曾有一次把这一个谜说给在三一学院教职员餐桌偶尔坐在我一边的一位德国数学家听，可是他唯一的评语是：“为什么说百万富翁？”
有些人以为，不言而喻，如果这些类之中没有一个是零，从每类中选择出一个来就一定是可能的。另有一些人则认为不然。关于这一点，皮亚诺说得最好：“这一个原则正确不正确呢？我们的意见是没有价值的。”我们对于我们所谓“乘法公理”所下的界说是：这是假定永远可能从一组若干类中的每一个（这些类没有一个是零）选出一个代表来。我们找不到赞成或反对这个公理的论证，因此我们把这一个公理明白地包括在应用这个公理的任何定理的假定中。在我们遇到这一个问题的同时，载尔美乐提出了他所说的“选择原理”，这是一个略为不同但在逻辑上相等的假定。他和一些别的人把它看做是一个自明的真理。因为我们并不采取这一个意见，我们尽力寻求一些方法来对付乘法而不假定这个公理是真的。
选择的逻辑学说无论在哪一点上都不依赖“数目”这个概念，在《数学原理》里我们是在给“数目”下界说之前提出来选择学说的。这种意思也可以用于另一个极其重要的概念，也就是，在普通语言里用“等等”这些字所表示C的那个概念。
假定你想用“父母”这个概念来说明“祖先”这个概念。
你可以说，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）亲，Ｂ是Ｃ的父（或母）亲，等等，并且这样在有限的多少步之后，你达到Ｙ这个人，他是Ｚ的父（或母）亲。这都没有问题，只是有一件，这里边包含“有限的”这几个字，这几个字不能不加以界说。
只有用一个完全一般的概念的特殊应用，给“有限的”下定义才是可能的，就是，从任何既定的关系而来的祖先关系那个概念。这个祖先关系概念最初是弗雷格远在一八七九年发展出来的，但是直到怀特海和我发展出这个概念来的时候，弗雷格的工作一直没有为世人所注意。我们想加以界说的这个概念可以初步解释如下：如果ｘ对于ｙ具有Ｒ关系，我们姑且把ｘ到ｙ这一步称为“Ｒ步”。你可以从ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通过从ｘ开始的那些Ｒ步你所能达到的东西，我们都说成为关于Ｒ的ｘ的“后代”。我们不能说凡是通过一个“有限数目的Ｒ步”你所能达到的东西，因为我们还没有对于“有限”
这个辞加以界说。我们只有借“后代”这个概念才能给它下一个界说。关于Ｒ的ｘ的后代可以界说如下：我们先给关于Ｒ的一个“世传的”类下一个界说。
这是有这样性质的一个类：凡是从这个类的一项通过一Ｒ步所达到的东西就又是这个类的一项。举例来说，“斯密”这个名称的性质是在父子关系中世传的，人性这种性质是在父母对子女的关系中世传的。“如果ｙ属于ｘ所属于的每个关于Ｒ的世传的类，ｙ就属于关于Ｒ的ｘ的后代”，我现在说明这是什么意思。现在让我们把这个应用于普通的整数，用一个数目对于它下面紧接着的那个数目的关系来代替Ｒ。如果我们现在看一看关于这一个数目的０的后代，显然１是属于这个后代，因为１＝０＋１；而且，因为１属于０的后代，２也是如此；而且，因为２是如此，３也就是如此。这样下去，我们就得到一整套都属于０的后代的数目。我们可以把用所谓“数学归纳法”的证明应用于所有这些数目。数学归纳法是这样一个原理：如果一个性质属于０，并且属于有这个性质的任何数目下面紧接着的那个数目，那么，这个性质就属于所有的有限数。把“有限”数说明为０的后代，这是这个定义的直接结果。从前大家以为数学归纳法是一个原理，因为从前以为一切数目一定是有限的。这是一个错误。数学归纳法不是一个原理，而是一个定义。对于有些数目来说它是正确的，对于另一些数目来说它是不正确的。凡它能适用的数目就是有限数。举例来说，把１加到一个有限数上，这个有限数就增加了；一个无限数就不是这样。
整个这个祖先关系学说不但对于数目说来是十分重要的。因为这个理由，我们在提出数的定义来以前就创立了这个学说。
现在我来讲一个东西，我名之为“关系算术”，这占了《数学原理》第二卷的后半本的篇幅。从数学的观点来看，这是我对于这部书最重要的贡献。我所说的“关系数”
是一种完全新的数，普通数是这种数的一种极其特殊化的例子。我发现，一切能用于普通序数的那些形式定律都能用于这一种一般得多的数。我也发现，关系数对于了解结构是很要紧的。
有些辞（“结构”就是其中的一个），正如“等等”或者“系列”，虽然为人用得惯熟，却无确切的意义。借关系算术，“结构”这个概念就可以精确地加以界说。
这一个问题里的基本定义是前面已经提到过的“次序的类似”或“相似”的定义。
凡和关系有关的地方，这种东西所起的作用正和类似在类与类之间所起的作用是一样的。
类与类之间的类似就是一个一对一的关系的存在，把一类的每一项和另一类中的相关者连结到一起。Ｐ和Ｑ两种关系之间的次序的类似就是指，有Ｐ领域对Ｑ领域的那么一个相互关系产生者，凡是两项有Ｐ关系，它们的相关者就有Ｑ关系，反之亦然。让我们举一个例证：假定Ｐ是已婚的政府官员的位次关系，Ｑ是他们的妻子的位次关系，妻和丈夫的关系就使Ｐ领域和Ｑ领域有这样的相互关系：只要是这些妻们有Ｑ关系，他们的丈夫就有Ｐ关系，反之亦然。当Ｐ和Ｑ两种关系在次序上是类似的时候，如果Ｓ是产生相互关系作用的那个关系，Ｑ就是Ｓ和Ｐ的关系产物，而且是Ｓ的倒转。例如，在上面所举的那个例证中，如果ｘ和ｙ是两个妻，并且ｘ对ｙ有Ｑ关系，而且，如果Ｓ是妻对丈夫的关系，那么，ｘ就是对ｙ的丈夫有Ｐ关系那样一个男人的妻，那就是说，Ｑ和Ｓ与Ｐ的关系产物是同一关系，并且是Ｓ的倒转；Ｓ的倒转就是丈夫对妻的关系。凡Ｐ和Ｑ是系列关系的时候，它们的相似在于它们的各项可以发生相互关系而不变换次序。但是相似这个概念可以用于一切有领域的关系，也就是，可以用于一切关系，在这种关系中，范围和倒转范围是一种类型。
我们现在说，一个Ｐ关系的关系数就是那些在次序上和Ｐ相类似的关系的类。这正有类于用次序的类似代替类的类似，用关系代替类的基数算术。加法、乘法和指数的定义有点儿类乎基数算术里的定义。加法和乘法都遵循结合定律。分配定律在一种形式中是适用的，但是，普通说来，在另一种形式中是不适用的。除了有关的关系的领域是有限的，交互定律是不适用的。举例来说，今有象自然数的系列的一个系列，在这个系列上加上两项。如果你把这两项加在开头的地方，这个新的系列就象是那个旧的系列；可是，如果你把这两项加在末尾，这个新的系列就不同了。无论什么时候，如果ｘ对ｙ有Ｐ关系，或ｘ对ｙ有Ｑ关系，或ｘ属于Ｐ的领域，ｙ属于Ｑ的领域，那么，Ｐ和Ｑ两种关系之和就可以说是能适用于ｘ与ｙ之间的一种关系。根据这一个定义，一般说来，Ｐ与Ｑ之和跟Ｑ与Ｐ之和不同。不仅一般的关系数是如此，而且序数也是如此，如果其中之一或二者是无限的。
序数是关系数的次一级的类，也就是能适用于“次序整然的”系列，“次序整然的”
系列其性质是：其中任何有若干项的次一级的类有一个第一项。坎特曾研究过超限序数，但是，据我所知，一般的关系数是在《数学原理》中第一次加以界说和研究的。
一两个例证也许对于我们有帮助。假定你有若干对成一其个系列，你想按照上面解释选择公理的意思从这些对里形成一系列的选择。这个程序和基数算术里的程序十分近似，只是有一点不同，就是，我们现在是想把这些选择排成一个次序，而以前我们只是把它们算做一个类。此外又假定，正如我们讨论类的选择的时候那样，我们有三个组，（ｘ１，ｘ２，ｘ３）、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３），我们想从这些里边弄出一个选择的系列来。这有种种办法。也许最简单的办法是这样：任何包含ｘ１的选择出现在任何不包含的选择之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些选择之中，那些包含ｙ１的选择出现在不包含ｙ１的选择之先。在二者都包含或都不包含ｘ１和ｙ１的那些选择之中，那些包含ｚ１的选择出现在那些不包含ｚ１的选择之先。我们为尾数２和尾数３立下类似的规则。这样我们就得到所有可能有的选择，排成一个系列，这个系列的开头是（ｘ１，ｙ１，ｚ１），最后是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。显然这个系列是有二十七项，但是这里二十七这些数目已经不是象我们从前那个例子里的那样一个基数，而是一个序数了，也就是说，是特别一种关系数。由于在那些选择之中建立了一个次序，它和一个基数是有区别的，一个基数并不建立一个次序。只要我们只限于有限数，在序数与基数之间是没有重要的形式上的分别的；但是，有了无限数的时候，由于交互定律不起作用，其间的分别就变得重要了。
在证明关系算术的形式定律的时候，我们常常有机会讨论系列的系列的系列。用下面这个实例，你在心中就可以得到一个具体形像：假定你要把一些砖堆积起来，而且，为的是把这件事说得更有趣，假定这是些金砖，你是在诺克司堡工作。我现在假定你先弄成一行砖，把每一块砖放在前一块的正东；你然后再弄一行，和第一行接触，但是是在第一行的正北；这样下去，你弄了许多行，到适当的程度而止。然后你在第一层的上面弄第二层，在第二层的上面弄第三层，这样下去，直到所有的砖都堆完为止。那么每一行就是一个系列，每一层是一个系列的系列，这一整堆是一个系列的系列的系列。我们可以用符号把这个过程代表如下：假定Ｐ是上层对下层的关系；Ｐ的领域是由各层而成；每一层是一系列的行。假定Ｑ１是最高一层各行南对北的关系，Ｑ２是第二层各行的这种关系，其余类推。Ｑ的领域是一系列的行。在最高一层最南边的一行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１１；在最高一层的第二行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１２；其余类推，最后是Ｒｍｍ，假定ｍ是层的数目，ｎ是每一层中行的数目。在这一个实例中，我是假定层数和行数是有限的，但是这是一个完全不必要的限制，有这一个限制只是为把这个实例弄得简单一点。在普通的语言里，所有这些都颇为复杂而冗长，但是用其符号来就变得简易了。假定E是ｘ对Ｐ的关系（这个关系就是ｘ是Ｐ的领域的一项）。那么，F３就是F和F和F的关系产物。举例来说，单个的砖是对Ｐ有F３关系的一些项，那就是说，每个砖是Ｐ的领域的一项的领域的一项的领域的一项。在证明加法和乘法的结合定律的时候，我们需要这样的系列的系列的系列。
如果两个关系数在次序上类似，我们可以说，它们产生相同的“结构”，但结构是略比这个更为广泛的概念，因为它不限于二的关系，那就是说，二项之间的关系。在几何学里，三项或四项之间的关系是很重要的，怀特海原要在《数学原理》的第四卷里讨论这些关系。但是他做了不少预备工作之后，他的兴趣松懈下来，他放弃了这计划，而走向哲学去了。
可是不难看出结构这个概念如何可以一般化。假定Ｐ和Ｑ已经不是二的关系，而是三的关系，这样的关系有许多通俗的例子，如，“在……之间”和“嫉妒”。关于Ｐ和Ｑ，我们可以说它们有相同的结构，如果能使它们有相互关系，凡在那个次序里ｘｙｚ有Ｐ关系的时候，它们的相关者在相同的次序里就有Ｑ关系，反之亦然。结构之为重要是有经验上的原因的，但是它的重要性也有纯粹是逻辑上的原因。如果两个关系有相同的结构，它们的逻辑上的性质是同一的，只是有一件：有赖于它们的领域的项的那些性质要除外。我所谓“逻辑的性质”是指能用逻辑术语表示的那些性质，不只是指能用逻辑证明的那些性质。对于系列关系加以界说的那三个特征就是一个例子，就是说，它们是不对称的、及物的、连接的。这些特征可以用逻辑术语表示出来；如果一个关系有其中之一的任何特征，每个在次序上和它类似的关系就也有这一个特征。每个关系数，不管是有限的或是无限的，是有这个数的任何关系的一个逻辑的性质。大体说来，凡关于一个关系你所能讲的话，不提有这个关系的各项，也不谈任何不能用逻辑术语表示的性质，都完全能适用于任何与你着手的关系相类似的关系。逻辑的和别的性质之间的区别是很重要的。举例来说，如果Ｐ是颜色之间的一种关系（例如虹里颜色的次序），是颜色之间的一种关系这么一个性质不属于在次序上与Ｐ类似的一切关系；但是是系列的那样的一个性质却是如此。再举一个较为复杂的例子：留声机器和灌片时原来的音乐在它们的逻辑的性质方面是分辩不出来的，虽然这两种东西所由成的实际材料是很不同的。
另一个实例也许能帮助我们把结构这个概念解释明白。
假定你知道某种语言的文句构造上的规则，但是，除了用于逻辑的一些字以外，你一个字也不认识，并且假定有人给了你用这种文字写出来的一个句子：这句话可以有的不同的意义是什么呢？这些意义的相同之点是什么呢？只要能使这整个句子具有意义（也就是说，在逻辑上讲得通），你对于每个单个的字可以赋予任何意义。那么，这句话就有很多可能的意义，也说不定是无限多，但是它们都有相同的逻辑结构。如果你的语言具备某些逻辑上的必要条件，使你的一些句子为真的那些事实也就有相同的结构。
我认为关系算术是重要的，这不只是因为它是一个有趣的通则，也是因为它给人以对付结构所必需的一种符号技术。
我一直认为，不熟悉数理逻辑的人很不容易了解“结构”的意义，而且，因为有这一种困难，在试图了解经验的世界的时候，他们很容易走错了路。仅是因为这个道理，关系算术这一个学说至今不大为世人所注意，我对此觉得十分惋惜。
我之知道这个学说没有完全被人所忽略，是因为我在一九五六年出乎意料之外接到了柏林汉布特大学俞尔根?斯密教授的一封信。他告诉我，这个学说的一些部分在所谓“辞典编辑问题”中曾经用过，这个问题是在于规定一种语言中字的字母排列，这种语言的字母是无限的。
我的哲学的发展第九章外在的世界 在《数学原理》写完后不久，还在印刷中，几尔柏特?马瑞就请我为家庭大学丛书写一本小书，用浅近的语言把我的哲学说一个梗概。这个邀请来得正是时候。我巴不得躲开符号演绎推理的严刻性。而且那时我的主张清晰明确，为前此以及后来所未有，很容易用简单平易的方法加以说明。这本书很成功，现在销路仍然很广。我觉得多数哲学家仍然认为这书是充分说明了我的主张。
把那本书重读一遍，我发现里边有很多东西是我现在仍然相信的。我仍然承认“知识”不是一个精确的概念，而是混入到“或然的意见”中。我仍然承认自明是有不同的程度的，了解一个普遍命题而不知道其真理的任何个别的例子是可能的，例如：“所有从未乘到一起的成对的数其积是大于１，０００”。但是另有一些问题我的意见已经起了很大的变化。我不再以为逻辑定理是事物的规律；适得其反，我现在把逻辑定理看做纯是属于语言性质的。我不再以为点、瞬和质点是世界原料部分。我在那本小书里所讲的关于归纳法的话，我现在看来是很粗疏的。我讲到普遍和我们关于普遍的知识讲得很有把握，我现在没有那种把握了，虽然我关于这个问题没有什么新的意见象从前那样自信地提出来。
关于点、瞬和质点，我是被怀特海从我的“独断的睡梦”中唤醒的。怀特海发明了一个方法，把点、瞬和质点构成一组一组的事件，每一个的范围都是有限定的。这就有了可能象我们以前在算术中用奥卡姆剃刀那样，把它用在物理学里。我很喜欢数理逻辑方法上的这种新应用。这似乎是暗示，用于理论物理学里的那些概念，其光滑顺溜与其说是由于世界的性质，倒不如说是由于数学家的巧妙手段造成的。而且在知觉问题上这也好象是开辟了一个全新的前景。我受聘于一九一四年春季要在波士顿作劳威尔讲演，我选择了“我们关于外界的知识”做我的题目，并且就这个问题我开始利用怀特海的新工具做研究。
知觉是我们外界知识的源泉这个问题，在我看来是很麻烦的。如果两个人看一样东西，由于透视和光线射下来的方向，他们之所见就有所不同。没有理由单挑出一个知觉者来，说他才是看见了那件东西的真相。所以我们不能认为外界的物就是人之所见。物理学家认为这是老生常谈：我们看不见原子和分子。物理学家向我们保证原子和分子是物的构成成分。生理学家也一样使人气馁。他讲明从眼到脑有一个复杂的因果连环，而且你之所见是有赖于脑子里的变化。如果这个脑的状态能够被非平时的原因所引起，你就会有一种视觉，这个视觉不像平时那样和一个外界的物体相牵连。这类的事不专是牵涉到视觉。这可以由一个大家都知道的例子来说明：一个人觉得他的大脚趾疼，虽然他的腿已经被切断了。这种论证说明，我们直接所经验到的不可能是物理学所讨论的外界的物，可是只有我们直接所经验到的才给我们理由相信有个物理学的世界。
要想解决这个问题，有各种方法。最简便的是唯我论的方法。我是把唯我论当做一种假设，而不是当做一种定论。那就是说，我是考量一个学说，就是，除了我自己的经验以外，没有正当的理由对于任何东西加以肯定或否定。我不认为这个学说可以驳得倒，但是我也不认为任何人能认真相信它。
有些人主张，承认经验是合理的，不管是自己的或是别人的，但是相信没人经验得到的事情则是不合理的。这个学说是承认来自别人的证明，但是拒绝相信有无生命的物质。
最后就是朴素实在论者和物理学家所都同意的那个羽翼已成的学说。据这一个学说的说法，有些东西是活的，是一簇一簇的经验，另一些东西是无生命的。
这些学说中的第二个和第三个是需要从我所经验到的推论到我所不能经验到的东西。
这些推论不能按照逻辑加以证明。只有承认演绎逻辑范围以外的一些原则，这些推论才能算确实。在和所有我以前的思想里，我是承认物理学中所讲的那样的物质的。可是这就留下了一条介乎物理学和知觉（也可以说心与物）之间的令人不快的鸿沟。在最初我热心要放弃物理学家的那个“物质”的时候，我希望能揭示出那些假设的实体来，这些实体一个知觉者不能知觉为一些完全由他所知觉到的成分所组成的结构。
我头一回把罗威尔讲演里所提出的学说加以解说的时候，我提议这是一件可能的事。这头一回的解说是在一篇题为《感觉材料对物理学的关系》的文章里，发表在一九一四年的《科学》里。在这篇文章里我说：“如果科学要是可以证实的，我们就要遇到以下的这个问题：物理学把感觉材料证明为物体的作用，但是只有在物体能证明为感觉材料的作用的时候，科学的证实才是可能的。因此我们就不能不解决那些用物体来表示感觉材料的方程式，为的是使这些方程式倒是用感觉材料来表示物体”。但是没有多久，我就相信这是一个行不通的计划，物体不能解释为由实际上经验到的成分所组成的结构。也是在这一篇文章里，在后边的一段里，我说明我容许我有两种推断：（甲）别人的感觉材料和（乙），我所谓“感相”，我假定这是指物在没人知觉它们的地方所呈的现象。
我接着说，我倒高兴能把这两种推断废除，“这样就把物理学建立在一个唯我论的基础上；可是毫无疑问，那些人性比要求逻辑经济更强的人（我恐怕是大多数）就不会和我一样要把唯我论弄得能满足科学上的条件。”因此我就断念不再想只用经验的材料来构成“物质”，并且安于一个把物理学和知觉和谐地配合为一个整体的世界的图形。
一九一四年元旦日我忽然想到的那个关于我们的外界的学说有几件新奇的东西。其中最重要的是空间有六度而不是有三度的那个学说。我得到的结论是，在物理学的空间里，认为是一个点的，说得更正确一些，认为是一个“极微地域”的，实际上是一个由三度而成的复合体。一个人的知觉对象的全体就是这个复合体的一个实例。我之所以有这个主张是有种种理由的。也许最有力的理由是可以造出一些仪起来，这些仪器在没有活着的知觉者的地方能把一些东西记录下来，那些东西如果一个人在那儿是可以知觉到的。一个照相感光板可以把多星的天空任何选出来的一部分制出一个相起来。一个口授留声机可以把近旁的人所说的话记下来。象这样制做机械的记录（这些记录有类乎如果一个人也在那里他所得到的知觉）在学理上是没有限制的。给繁星闪烁的天空照相也许是说明所牵涉到的东西的最好的例子。无论哪个星都可以在任何地方（若是有一个人的眼在那里也看得见那个星）照下相来。因此，在照相板那个地方，有些事情发生，这些事情是和在那里能照下相来的所有那些不同的星有关系。因此在物理空间的一个微小的地域里随时都有无数的事情发生，与一个人在那里所能看见的或一件仪器所能记录的一切事情相应。不但如此，这些事情彼此有空间关系，这些空间关系多多少少正与物理空间中的那些对立的物体相应。在一张星体照相中所出现的那个复杂世界是在拍照的那个地方。同样，知觉之心的内容那个复杂世界是在我所在的那个地方。这两种情形不拘哪一个都是从物理学的观点来讲的。照这一个学说来讲，在我看见一颗星的时候，里边牵涉到三个地方：两个在物理空间里，一个在我私人的空间里。有星所处于物理空间中的那个地方；有我所处于物理空间中的那个地方；又有关于这颗星的我的知觉内容所处于我的别的知觉内容中的那个地方。
在这个学说里有两种方法把事件一束一束地收集起来。
一方面，你可以把所有那些可以认为是一件“东西”的现象的事件弄成一束。例如，假定这项东西是太阳，首先你就有正在看见太阳的那些人的所有视觉内容。其次你有正在被天文学家拍照下来的所有那些关于太阳的照片。最后，你有所有那些在各处发生的事情，正因为有这些事情，才有在那些地方看见太阳或给太阳照相的可能。这一整束的事件是和物理学的太阳有因果关系的。这些事件以光的速度从物理空间中太阳所在的地方向外进行。在它们从太阳向外进行的时候，它们的性质发生变化有两种情形。第一可以称之为“正规”的情形，这就是大小和强度依反平方律减少。在相当切近的程度上来说，这种变化只是发生在空虚的空间里。但是太阳在有物质的地方所呈现的光景是依物质的性质而有不同的变化。雾就要使太阳显得红，薄的云彩就要使太阳显得暗，完全不透明的物质就要使太阳完全不现任何现象。（我说现象的时候，我不只是指人们之所见，也是指没有知觉者的地方与太阳有关的那些所发生的事。）如果插进来的那个媒介物包含一只眼睛和一个视神经，则太阳因此所呈的现象就是某人实际上所看见的了。
某件东西从不同的地方所呈的现象（只要这些现象是“规则的”）如果是属于视觉的，就为透视定律所连结，如果是由别种感觉透露出来的，这些现象也为不是全然不同的定律所连结。
前面我曾说过，还有另外一个方法把事件集为一些束。按照这一个方法，我们不是把一件东西所呈的现象的那些事件集合起来，而是把在一个物理上的处所所呈的现象的所有那些事件都集合起来。在一个物理上的处所的事件其全体我称之为一个“配景”。
在某一个时间我的知觉内容的总体构成一个“配景”。仪器在某一个处所能够记录下来的所有事件之总体也是如此。在我们以前制束的方法中，我们曾有一束是由太阳的许多现象所组成。但是在这第二个方法中，一束只包含太阳的一种现象，那种现象和从那个地方所能知觉到的每个“物”的一种现象相联。在心理学中特别合适的乃是这第二种制束的方法。一个配景，如果碰巧是在一个脑子里，就是由该脑所属的那个人临时所有那些知觉之心的内容所组成。所有这些，从物理学的观点来看，都是在一个地方，但是，在这个配景里有若干空间关系，由于这些空间关系，原来物理学上说是一个地方的，现在却变成一个三度的复合体了。
不同的人对于一件东西有不同的知觉这个谜，关于一件物理上的物和它在不同的地方所呈的现象二者之间的因果关系这个谜，最后，（也许是最重要的）心与物之间的因果关系这个谜，都被这一个学说一扫而光了。这些谜之所以发生，都是由于不能把与某一个知觉的心之内容相连的三个处所加以区分。这三个处所就是（我再说一遍）：（１）“东西”所在的物理空间中的处所；（２）我所在的物理空间中的处所；（３）在我的配置中，我的知觉之心的内容对于别的知觉之心的内容所占据的处所。
我之提出上面的学说并不是认为那是唯一能解释事实的学说，或者认为一定是正确的。我之把它提出来是认为那是一个与所有既知的事实相符合的学说，并且认为，讫今为止，这是唯一能这样说的学说。在这一方面，这个学说是和（举例来说）爱因斯坦的广义相对论并列的。所有这些学说都超出事实所能证明的以外，并且，如果解决了一些谜，并且不论在哪一点上都和既知的事实不相矛盾，则这些学说都是可以接受的，至少暂时是可以的。我认为这就是以上那个学说所具备的条件，也就是任何有普遍性的科学上的学说所应有的条件。
怀特海把点解释为一类一类的事件，这个方法对于我求得以上那个学说是一个很大的帮助。可是我认为，是否事件实际上真适合于解释具有几何学上的点所应有的特性的任何东西，是可怀疑的。怀特海假定每个事件都是具有有限度的范围的，但是一个事件的范围并没有最小的限度。我找到了一种方法，从一类一类的事件来构成一个点，这些事件没有一个是小于一个指定的最小限度；但是他的和我的方法只能靠一些假定才有效。
没有这些假定，虽然我们能够达到很小的地域，我们也许不能达到点。在以上的叙述中，我之所以说“最小的地域”而不说点，正是因为这个理由。我不认为这有什么重大的关系。