第四部 堂堂大教授-5

类别:文学名著 作者:理查德·曼 本章:第四部 堂堂大教授-5

    在普林斯顿时,有一天我坐在休息室里,听到一些数学家在谈论e的级数。把e展开时,你会得到1+x+(x2/2!)+(x3/3!)十……。式中每一项,来自将前一项乘以x,再除以下一个数字。例如,要得到(x4/4!)的下一项,你可把它乘以x和除以5。这是很简单的。

    很小的时候,我就很喜欢研究级数。我用这个级数方程式计算出e值, 亲眼看到每一个新出现的项,如何很快地变得很小。

    当时我喃喃自语,用这方程式来计算e的任何次方(或称“幂次”)是多么容易的事。

    “咦,是吗?”他们说:“那么,e的3.3次方等于多少?”有个小鬼说——我想那是塔奇说的。

    我说,“那很容易。答案是27.11。”

    塔奇明白我不大可能单靠心算得到这答案的:“嘿!

    你是怎么算的?”

    另一个家伙说:“你们都晓得费曼,他只不过在唬人罢了,这答案一定不对。”

    他们跑去找e 值表,趁此空档我又多算了几个小数位:

    “27.1126,”我说。

    他们在表中找到结果了:“他居然答对了!你是怎么算出来的?”

    “我把级数一项一项计算,然后再加起来。”

    “没有人能算得那样快的。你一定是刚巧知道那个答案。e的3次方又等于多少?”

    “嘿,”我说:“这是辛苦工呢!一天只能算一题!”

    “哈!证明他是骗人的!”他们乐不可支。

    “好吧,”我说,“答案是20.085。”

    他们连忙查表,我同时又多加了几个小数位。他们全部紧张起来了,因为我又答对了一题!

    于是,眼前这些数学界的精英分子,全都想不通我是如何计算出e的某次方! 有人说:“他不可能真的代入数字,一项一项地加起来的——这太困难了。其中一定有什么诀窍。你不可能随便就算出像e的1.4次方之类的数值。”

    我说:“这确是很困难,但好吧,看在你的份上,答案是4.05。”

    当他们在查e值表时,我又多给他们几个小数位,说:

    “这是今天的最后一题啦!”便走出去了。

    事情的真相是这样的:我碰巧知道三个数字的值——以e为底的10的对数Loge10(用以将数字从10为底换到以e为底),这等于2.3026;又从辐射研究(放射性物质的半衰期等),我知道以e为底的2的对数(Loge2)等于0.69315。

    因此,我也知道e的0.7次方差不多等于2。当然,我也知道e的一次方的值,那就是2.71828。

    他们要考我的第一个数字是e的3.3次方,那等于e的2.3次方——即等于10——乘以e,即27.18。而当他们忙着找出我所用方法的同时,我在修正我的答案,计算出额外的0.0026,因为我原来的计算是用了较高的值,即2.3026。

    我明白这种事情可一不可再,因为刚刚不过全凭运气而已。但这时他又说e的3次方,那就是e的2.3次方乘以e的0.7次方,我知道那等于20再多一点点。而当他们在忙着担心我到底是怎样计算时,我又替那0.693作修正。

    做了这两题后,我确实觉得没法再多算一题了,因为第2题也全靠运气才算出来的,但他们再提出来的数是e的1.4次方,即e的0.7次方自乘一次,那就是4再多一点点而已!

    他们一直搞不懂我是怎样算出来的。

    到了罗沙拉摩斯,我发现贝特才是这类计算的个中高手。例如,有一次我们正把数字代入方程式里,需要计算48的平方。正当我伸手要摇玛灿特计算机时,他说:“那是2300。”我开始操作计算机,他说:“如果你必须要很精确,答案是2304。”

    计算机也是2304,“哗!真厉害!”我说。

    “你不知道怎样计算接近50的数字的平方吗?”他说:

    “你先算50的平方,即2500,再减去你要计算的数及50之间的数差(在这例子中是2)乘以一百,于是得到2300。如果你要更精确,取数差的平方再加上去,那就是2304了。”

    几分钟之后,我们要取2.5的立方根。那时候,用计算机算任何数字的立方根之前,我们先要从一个表里找出第一个近似值。我打开抽屉去拿表——这次时间较多——他说:“大约1.35。”

    我在计算机上试算,错不了!“你是怎样把它算出来的?”我问:“你是否有什么取立方根的秘诀?”

    “噢,”他说:“2.5的对数是……。对数的三分之一是1.3的对数,即……,以及1.4的对数,即多少多少之间,我就用内插法把它求出来。”

    于是我发现:第一,他能背对数表;第二,如果我像他那样用内插法的话,所花的时间绝对要比伸手拿表和按计算机的时间长得多。我佩服得五体投地。

    从此以后,我也试着这样做。我背熟了几个数字的对数值,也开始注意很多事情。比方有人说,“28的平方是多少?”那么注意2的平方根是1.4,而28是1.4的20倍,因此28的平方一定接近400的两倍,即800上下。

    如果有人要知道1.73除1是多少,你可以立刻告诉他答案是0.577,因为1.73差不多等于3的平方根,故此1/1.73就差不多等于3的平方根再除以3,而如果要计算1/1.75呢,它刚好是4/7,你知道1/7那有名的循环小数,于是得到0.571428……跟贝特一起应用各种诀窍做快速心算,真是好玩极了。

    通常我想到的,他都想到,我很少能算得比他快。而如果我算出一题的话,他就开怀大笑起来。无论什么题目,他总是能算出来,误差差不多都在1%以内。对他而言,这简直是轻而易举——任何数字总是接近一些他早已熟悉的数字。

    有一天我心情特别好,那时刚巧是午饭时间,我也不晓得是怎么搞的,心血来潮地宣布:“任何人如果能在10秒钟内把他的题目说完,我就能在60秒之内说出答案,误差不超过10%!”

    大家便开始把他们认为很困难的问题丢给我,例如计算1/(1+x4)的积分等。但是事实上,在他们给我的x 范围内,答案的变化并不太大。他们提出最困难的一题,是找出(1+x)20中x10的二项式系数,我刚好在时间快到时答出。

    他们全都在问我问题,我得意极了,这时奥伦刚巧从餐厅外的走廊经过。其实,来罗沙拉摩斯之前,我们早在普林斯顿共事过,他总是比我聪明。例如,有一天,我心不在焉地在玩一把测量用的钢卷尺——当你按上面的一个钮时,它会自动卷回来的那种;但卷尺的尾巴也往往会往上反弹,打到我的手。“哇!”我叫起来,“我真呆,这东西每次都打着我,我却还在玩这东西。”

    他说:“你的握法不对,”把卷尺拿过去,尺拉出来,按钮,卷回来,他不痛。

    “哇!你怎么弄的?”我大叫。

    “自己想想吧!”

    接下来的两星期,我无论走到哪里,都在按这卷尺,手背都被打得皮破血流了。终于我受不了。“奥伦!我投降了!你究竟用什么鬼方法来握,都不会痛?”

    “谁说不痛?我也痛啊!”

    我觉得自己真的有够笨,竟让他骗我拿着尺打自己打了两个札拜!

    而现在奥伦刚巧经过餐厅,这些人都兴奋极了,“嘿,奥伦!”他们喊:“费曼真行啊!我们10秒钟内说得完的题目他就能在1分钟内给出答案,误差10%。你也来出个题目吧!”

    他差不多脚步也没停下来,说:“10的一百次方的正切函数值。”

    我被难倒了:我得用π去除一个有一百位的数字。我没办法了!

    有一次我夸口:“其他人必须用围道积分法来计算的积分,我保证能用不同方法找出答案。”

    于是奥伦便提出一个精彩绝伦、该死的积分给我。他从一个他知道答案的复变函数开始,把实部拿掉,只留下虚部,结果成为一道非用围道积分法不可的题目!他总是让我泄气得很,是个很聪明的人。

    刚到巴西时,有一次我在某家餐厅里吃午餐。我不知道那时是几点钟了,但那里只有我一个顾客——我老是在奇怪的时间跑去餐厅。我吃的是我很喜爱的牛排配饭,4个服务生在旁边闲站。

    一个日本人走进来。以前我就见过他在附近流浪,以卖算盘为生。他跟服务生谈话,并提出挑战:他的加法可以比任何人都快。

    服务生怕丢面子,因此他们说:“是吗?你为什么不去跟那边那位先生挑战?”

    日本人向我走过来,我抗议:“我不大会讲葡萄牙语!”

    服务生全在笑:“葡萄牙文的数字很容易!”

    他们替我找来纸笔。

    那人请一个服务生出一些数字让我们加。他赢太多了,因为当我还在把数目字写下来时,他已经边听边加。

    我提议服务生写下两列相同的数字,同时交给我们。

    这并没有太大分别,他还是比我快很多。

    他有点得意忘形,想更进一步证实他的能力。“Multiplicao!”

    他说,他要比乘法。

    有人写了个题目,他又赢了,但赢不多,因为我的乘法是相当好的。

    然后他犯了个错误:他建议我们继续比除法。他没意识到,题目愈难,我赢的机会就愈大。

    我们同时做了一题很长的除法题。这次我们平手。

    这使得那日本人很懊恼,因为看来他曾经受过很好的算盘训练,但现在他居然差一点就败给餐厅里的一个顾客。

    “Raios cubicos!”他说,声音充满复仇气息。 立方根!他想用算术方法求立方根值!在基础算术题目中,大概再找不出比这更难的题目了。而在他的算盘世界中,立方根也一定是他的拿手项目。

    他在纸上写了个数字——随便写的——我还记得那数字是1729.03。他立刻展开计算,口中念念有词,动作不断!

    他已开始计算立方根了。

    而我则只坐在那儿。

    一个服务生说:“你在干嘛?”

    我指指头,“我在想!”我说,在纸上写下12。过了一会我已得出12.002。

    日本人把额上的汗擦掉,“12!”他说。“哦,不!”

    我说。“再多一些数字!再多一些数字!”我充分理解,用一般算术方法求立方根时,找后面的数字比前面的要难多了,这是苦工呢。

    他重新埋头苦干,口中“啊咕噜么么”的不停,其间我又多写了两个数字。最后他抬起头来说:“12.0!”

    那些服务生兴奋极了,他们跟日本人说:“瞧,他光想想就行了,你却要用算盘!而且他多算出些数字!”

    他溃不成军,垂头丧气地走了,服务生则大肆庆祝。

    这个顾客是如何打赢算盘的?题目是1729.03。我刚巧知道一立方英尺有1728立方英寸,因此答案必定是12多一点点。多出来的1.03呢,大约是二千分之一, 而我在微积分课里学过,就小分数而言,立方根超出的部分是数字超出部分的三分之一,因此我只需要算1/1728是多少,再乘以4(即除3再乘12)。这是为什么我一下就能算出那么多小数位。

    几星期后,那个日本人跑到我下榻的旅馆会客厅里。

    他认得我,跑过来说:“告诉我,你怎么能那么快就把立方根算出来?”

    我告诉他这是个求近似值的方法,跟误差有关,“比方你说28。那么,27的立方根是3……”

    他拿起算盘:哒哒哒哒——“噢!是的。”他说。

    我发现:他根本不懂得怎样处理数字。有了算盘,你不必记诵一大堆的算术组合;你只需要知道怎样把小珠子推上拨下。你根本不必知道9加7等于16,而只需要记住加9时,要推一颗十位数的珠子上去, 拨一颗个位数的下来便好了。也许我们算得较慢,但我们才真正懂得数字的奥妙。

    此外,他根本无法理解求近似值方法所包含的道理,他不明白在很多情况下,任何方法都求不出完整的立方根,但可以求近似值。因此我永远无法教会他我求立方根的方法,甚至让他明白那天我有多幸运,因为他刚好挑了个像1729.03这样的数字!


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